Статья 245

Хорошо известно, что сформулированная таким образом система аксиом арифметики Пеано является категорической, все модели данной второпорядковой системы изоморфны между собой. Но семантическое понятие логического следования в этом случае оказывается слишком богатым и не формализуемым ни в каком стандартном языке, в котором все правила вывода финитны и эффективны, и понятие аксиомы тоже является эффективным. Таким образом, неполнота формализации обусловлена не какими-либо недостатками математических постулатов, а глубиной и сложностью семантических понятий логического следования и общезначимости для языков, более богатых, чем первопорядковый.
Возвращаясь к аксиоматическому исчислению НС, отметим, что интерес представляют не только такие его общие свойства, как неполнота и непротиворечивость. Важно также знать, какими свойствами обладают выводы в этом исчислении, насколько удобны они для моделирования содержательных логических рассуждений, что можно извлечь для анализа содержательных рассуждений в различных областях науки, применяя технику этих выводов, насколько они естественны, ясны, удобны.