Статья 2458

Теорема утверждает, что во всех математических системах, кроме самых простых, могут найтись предложения, которые нельзя доказать или опровергнуть при помощи какого бы то ни было конечного математического или логического процесса. Доказательство данного предложения может потребовать бесконечного числа логических шагов. Даже предложение, которое можно сформулировать кратко, может потребовать произвольно длинного доказательства. На практике имеется много простых математических теорем, единственно известные доказательства которых очень длинны. Кроме того, случаи, которые следует рассмотреть для доказательства или опровержения предположений, часто очень сложны. В теории чисел, например, имеется много случаев, когда очень небольшие числа, обладающие специальными свойствами, многочисленны, такие числа можно найти, только проверив каждое число по очереди. В этих случаях ЭВМ становится основным оружием математических исследований.
Из вычислительной неприводимости вытекают многие принципиальные ограничения на содержание теорий для описания физических систем. Систему можно моделировать на многих уровнях - от имитации движения отдельных молекул до решения дифференциальных уравнений, описывающих ее основные свойства. Из вычислительной неприводимости следует, что имеется высший уровень, на котором может быть построена абстрактная модель, ниже этого уровня результаты могут быть найдены только путем непосредственной имитации.
Когда уровень описания становится вычислительно неприводимым, начинают возникать неразрешимые вопросы. При формулировании теории следует избегать таких вопросов, подобно тому, как в квантовой механике избегают одновременного измерения скорости и положения электрона, невозможного в силу принципа неопределенности. Даже если такой вопрос устранен, существуют практические трудности при ответе на другие вопросы, на которые в принципе можно ответить.