Статья 2450

Использование более мелких интервалов дает более точные результаты. Вычисления, необходимые для каждого интервала, очень просты, но во многих случаях их надо повторять много раз, чтобы достигнуть приемлемого уровня точности. Такой подход осуществим только при помощи вычислительной машины.
Численные методы, реализованные в машинных программах, использовались для нахождения приближенных решений дифференциальных уравнений во многих областях науки. Иногда решения имеют простой вид, однако в большинстве случаев они ведут себя сложным, почти случайным образом, даже если исходное дифференциальное уравнение очень простое. Тогда надо применять экспериментальные математические методы.
На практике часто приходится иметь дело не только с очень сложными дифференциальными уравнениями, но и с большим их числом. Например, теоретические модели цепных ядерных реакций, используемые для различных целей, включают сотни дифференциальных уравнений. На практике такие модели всегда формализуются в виде машинных программ, поскольку только вычислительная машина может оперировать математическими выражениями, отражающими функциональную зависимость столь многих величин.
Дифференциальные уравнения служат адекватными моделями общих свойств физических процессов, таких, как химические реакции. Например, они могут описывать изменение полной концентрации молекул, однако моделирование движения отдельных молекул с их помощью невозможно. Эти движения можно промоделировать как случайные блуждания, траектория движения каждой молекулы подобна траектории движения человека в беспорядочно движущейся толпе. В самой простой модели предполагается, что молекула движется по прямой линии пока не столкнется с другой молекулой, после этого она движется в случайном направлении. Все прямолинейные шаги предполагаются одинаковой длины. Если большое число молекул совершает случайное блуждание, среднее изменение концентрации молекул со временем можно описать дифференциальным уравнением, называемым уравнением диффузии.