Статья 244

Геделя формулируют как теорему о неполноте формализованной арифметики. Но при этом надо иметь в виду, что неполнота формализованной арифметики возникает не из-за слабости неполноты используемых собственно арифметических аксиом, а является следствием неполноты логических средств, применяемых в исчислении. Пояснить это можно следующим образом. Хорошо известно, что аксиомы арифметики Пеано можно сформулировать на языке второпорядковой логики. Тогда схема математической индукции будет выразима в форме одного предложения с кванторами по всем свойствам. Для всякого свойства из того, что обладает свойством, и из того, что если обладает свойством, то тоже обладает свойством, следует, что всякий обладает свойством. Здесь является предикатной переменной и квантификация проводится по предикатным переменным, пробегающим по всем свойствам, а не только по тем, которые выразимы в первопорядковом языке.