Статья 405

Допустим, посылки верны, а заключение ложно. Из 1 следует, из отрицания заключения следует утверждение о существовании неотрицательного целого числа, не обладающего свойством. Пусть - наименьшее такое число. Возможны два случая. Если то 0, имеем 0 в противоречии с предположением об истинности посылки 1. Если, оно представило в виде то, где. Так как наименьшее неотрицательное целое число, которое не обладает свойством, число этим свойством обладает, верно. В силу посылки 2 отсюда следует истинность. Но то, откуда истинно то, в противоречии с допущением то. Итак, истинность посылок 1 и 2 влечет истинность заключения 3.
В том, что в обосновании метода математической индукции применяется доказательство от противного, нет ничего удивительного - метод доказательства от противного обладает более широкой областью применимости, чем метод математической индукции. Но мы не будем здесь углубляться в этот вопрос.