Статья 321

Аксиома выбора в теории множеств, в частности, утверждает, что можно построить функцию, выбирающую по одному элементу из заданного семейства не пустых множеств, не давая никакого способа определить эту функцию.

Позднее, уже в 60-х годах, было строго доказано, что в некоторых случаях нет возможности явно построить множество, существование которого доказывается при помощи аксиомы выбора.
Пример. Неизмеримое множество действительных чисел строится следующим образом. Числа из отрезка 0,1 делятся на классы эквивалентности по отношению Разность между рациональна.

Неизмеримое множество строится путем выбора по одному элементу из каждого такого класса.

Доказано, что ни одно множество, которое можно определить в теории множеств, не является неизмеримым.
Предупреждение. Это не означает, что любое определимое множество является неизмеримым.